Calculando o comprimento dos cabos de sustentação de uma ponte pênsil

Pergunta:

Uma ponte suspensa de 400(m) de comprimento é sustentada por um cabo principal parabólico. O cabo principal está 100(m) acima da ponte nos extremos e 4(m) acima da ponte em seu centro. Calcule o comprimento dos cabos de sustentação que são colocados a intervalos de 50(m) ao longo da ponte. (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas retangulares em que a ponte é o eixo x e a origem está no meio da ponte).

Resposta:

Como sugerido, vamos colocar a origem no meio da ponte. Então, o vértice da parábola estará no ponto (0,4) (0 para x, meio da ponte e 4 para altura).

Cada extremo estará a 200 m (um para a esquerda e outro para a direita).

Então, a coordenada do extremo direito será (200,100) e a do extremo esquerdo (-200,100).

A equação da parábola é y=ax²+bx+c

Agora é só substituir os pontos conhecidos para obtermos os valores de a, b e c.

Primeiro ponto, o meio da ponte:

(0,4) ==> 4=a(0)²+b(0)+c, c=4

Extremidade esquerda:

(-200,100) ==> 100=a(-200)²+b(-200)+4

96=40000a-200b

Extremidade direita:

(200,100) ==> 100=a(200)²+b(200)+4

96=40000a+200b

Somando-se as últimas duas:

2*96=2*40000a

a=96/40000, simplificando por 32, teremos: a=3/1250

Substituindo em qualquer uma das duas últimas chegaremos que b=0

Então:

Função altura: y=3/1250 x²+4

Centro y=3/1250 x²+4

50 m y=3/1250 50²+4 => 10

100 m y=3/1250 100²+4 => 28

150 m y=3/1250 150²+4 => 58

200 m y=3/1250 200²+4 => 100